​【高中数学】32.三角函数诱导公式的理解和记忆

【高中数学】32.三角函数诱导公式的理解和记忆

理解诱导公式需要知道两个原则和一句口诀。

1. 第一个原则：原则一就是要知道三种三角函数在四个象限的正负分布情况。知道正弦在一二象限为正，三四象限为负。余弦在一四象限为正，二三象限为负。正切在一三象限为正，二四象限为负。可以画出坐标系，在坐标纸上标明三种三角函数的正负情况。正弦在一二为正，三四为负，于是在坐标纸上可以做出标记。这一横表示正弦，画在一二象限表示正弦在一二为正，三四为负。同样的余弦在一四为正，二三为负，在坐标纸上可以标出来。这条竖勾表示余弦，画在一四象限表示一四象限余弦为正，二三余弦为负。同样的正切在一三象限为正，二四为负，于是可以做出标记。这一撇表示正切，正切在一三象限表示正切在一三象限为正，二四象限为负。

2. 第二个原则：需要通过一个锐角把四个象限的角全部表示出来。事先规定阿尔法是一个锐角，然后画出坐标纸，四个轴角，这是零，这是二分之π，这是π，这是二分之π。当然这个地方可以写成二π，因为规定了尔法是一个锐角，第一项限的角可以用尔法来表示，当然也可以用二分之π去剪一个锐角。第二项线可以理解成是二分之π加一个锐角，或者用π去剪一个锐角。第三象限可以写成π加阿尔法，同样的可以写成二分之三π减尔法。第四象限可以写成二分之三π加尔法，或者是二π减尔法，或者写成负尔法。二分之π减尔法可以理解成是二分之π这个角沿顺时针再转一个尔法，转到第一象限。二分之π加尔法可以理解成是二分之π沿逆时针再转一个尔法角，同样的可以理解成是π这个角沿顺时针再转一个尔法，转到第二象线。类似的第三象线就理解是π沿逆时针转一个角，或者是二分之三π沿顺时针转一个角。第四象限就是二分之三π沿逆时针再转一个角，或者是二π沿顺时针再转一个角，也就是说可以用旋转的角度去理解四个象限的角。

3. 理解完两个原则以后还需要一句口诀，就是奇变偶不变符号看象限，其中这个地方的奇和偶表示与阿尔法相加相减的那个角是二分之π的奇数还是偶数倍。这个变还是不变，对应的是三角函数名的变化情况。三角函数名的变化情况变的意思就是正弦会变成余弦，同样的余弦也会变成正弦，这个正切就会变成正切的倒数。这个口诀的后半段看就是符号，看象限，这个看要看前面，就是看前面三角函数的正负情况，看前面三角函数的正负情况。它的正负决定了后面式子的正负，就说前面决定后面。

通过几个例子具体来看一下。sin 的二分之三π减阿尔法，cosπ减阿尔法，然后再来一个 tan 二分之九π减二阿尔法加二阿尔法。

1. 先来看第一个，这个地方是正弦的二分之三π减二阿尔法，与二阿尔法相加相减的这个角是二分之π的三倍，三是一个奇数，所以根据奇变偶不变，奇数就会变，变就是正弦函数名变成余弦阿尔法。然后符号看象限，这个二分之三π减阿尔法应该在第三象限，而第三象限的正弦为负，于是这个地方符号看象限，要看前面三角函数的正负，因为正弦在第三象限为负，于是这个地方就这里补一个符号。

2. 然后再看到第二个 cosπ减阿尔法，因为这个地方的π是二分之π的二倍，二是一个偶数偶不变，所以就还是余弦阿尔法。然后符号看象限，这个π减阿尔法应该是第二象限，因为是 x 负半轴，沿顺时针转一个锐角转到第二象限，而余弦在第二象限为负，于是这个地方就是负余弦阿尔法。

3. 然后第三个 tan 二分之九π加阿尔法，因为二分之九π是二分之π的九倍，九是一个奇数，根据奇变偶不变，所以它会变成 tan 阿尔法的倒数。然后符号看象限，这个二分之九π加阿尔法很显然其中的二分之九π已经超过了二π，就需要把里面的整的二π全部扣掉。二分之九π里面应该有两个二π，就是二分之八π，所以把二分之八π扣掉，所以这个式子就等价于 tan 二分之π再加一个阿尔法。因为这个地方二分之π加阿尔法是 y 轴正半轴，沿逆时针在转一个锐角转到第二象限，而第二象限的正切为负，于是这个地方需要补一个符号。